1930. június 4-én született Budapesten. Dédapja Vészi József, a Pester Lloyd főszerkesztője, nagyapja Molnár Ferenc író, apja Horváth Zoltán, a Népszava főszerkesztője volt, anyja második férje, Sárközi György író után Sárközi Mártaként vált ismertté. (Az ebből a házasságból származó féltestvére Sárközi Mátyás Londonban élő író.) A család élete tele van irodalomtörténeti érdekességekkel, szülei kiterjedt baráti köre szintén az értelmiség színe-javából került ki.

Gyermekévei a Molnár Ferenc által rájuk hagyott villában teltek, de hatévesen egy esztendőt súlyos beszédhibája miatt a siketnémák és vakok intézetében töltött. 1944-ben a Gestapo lefoglalta a villát, Ádámot Erdei Ferenc tanyájára menekítették. A háború után öccsével együtt három évet töltött Sztehlo Gábor "gyermekköztársaságában", a Gaudiopoliszban, ahol ő volt a kultuszminiszter. Sárközi György halála után anyjuk vitte tovább a Válasz folyóiratot, ami felemésztette a villát, így egy zugligeti szoba-konyhás házban kötöttek ki, amely egyszerre volt irodalmi szalon és menedékhely sokak számára. Apját belekeverték a Rajk-perbe, csak 1956-ban szabadult.

1948-tól a Gödöllői Agrártudományi Egyetem hallgatója volt, de mert fellázadt az oktatás szelleme miatt, egy év múlva kirúgták. 1952-ben sorkatonaként került Forrai Miklós segítségével a Honvéd Együttesbe, leszerelése után is itt maradt, később az együttes karvezetője lett. 1956-ban a forradalom kitörése idején kínai turnén voltak, s hazafelé megtagadtak egy moszkvai fellépést, ezért az együttes nagy részét, így őt is, elküldték.

Horváth Ádám 1957-ben került a Magyar Televízióhoz külsősként, előbb Apáthi Imre asszisztense volt, majd a televízió munkatársa, 1959-től pedig rendező. Munka mellett Máriássy Félix tanítványaként elvégezte a Színház- és Filmművészeti Főiskolát, ahol 1965-ben kapott diplomát. 1967-től a Magyar Televízió művészeti főosztályának vezető rendezője lett, 1967-ben BBC-, 1968-ban RAI-ösztöndíjas volt, ugyanebben az évben kezdett tanítani a főiskolán televíziós rendezést.

1963-ban ő készítette az első televíziós portréfilmet Székely Mihályról, s ő volt az első színes adás rendezője is 1969. április 5-én. 1983-tól a Magyar Televízió főrendezője és egyetemi tanár, 1990-ben a tévé elnökségének tagja, 1994-95-ben az MTV elnöke volt. 1993-tól a főiskolán a szerkesztő-műsorvezető-riporter szak vezetője, 1994-től nyolc évig rektorhelyettes, 2005-től emeritus professzor volt.

A több mint negyven televíziós év alatt háromezernél is több műsort rendezett, s szinte minden műfajban dolgozott. Talán a legismertebb és legnépszerűbb munkája az első magyar teleregény, a Szomszédok, amelynél először hat adásra kérték fel, végül háromszázharminckét rész készült 1999-ig, majd a 2004-ben indult sokban hasonló új sorozata, az Életképek. Főbb rendezései közé tartozik még a Háry János, a Psalmus Hungaricus, A fából faragott királyfi, Verdi Rigolettója. Nevéhez fűződik számtalan komolyzenei műsor és koncert, valamint 1989. június 16-án Nagy Imre és mártírtársai újratemetésének televíziós rendezése.

Munkásságáért 1970-ben Balázs Béla-, 1985-ben Erkel Ferenc-díjat kapott. 1978-ban érdemes művész, 1990-ben kiváló művész lett, rendezői életművéért 1991-ben megkapta a tévékritikusok díját. 2002-ben a XIII. kerület díszpolgárává, 2004-ben a Magyar Televízió örökös tagjává választották. 2007-ben Kossuth-díjjal tüntették ki több évtizedes nagysikerű rendezői munkássága elismeréseként.